Question

18．若x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-2y≥0\\ x+2y≥4\end{array}$则z=$\frac{y-4}{x}$的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{3}{2}]∪[-1，+∞）$
• B． $（-∞，-\frac{5}{2}]∪[-1，+∞）$
• C． $[-\frac{5}{2}，-\frac{3}{2}]$
• D． $[-\frac{3}{2}，-1]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
z=$\frac{y-4}{x}$的几何意义是区域内的点到定点（0，4）的斜率
由图象知DB的斜率最大，DA的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{x+2y=4}\end{array}\right.$可得A（2，1），$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，
可得B（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴z的最大值为z=$\frac{\frac{4}{3}-4}{\frac{8}{3}}$=-1，z的最小值为z=$\frac{1-4}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
即，z的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，-1]，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．