Question

7．设S表示所有大于-1的实数构成的集合，确定所有的函数：S→S，满足以下两个条件：
（1）对于S内的所有x和y，f（x+f（y）+xf（y））=y+f（x）+yf（x）；
（2）在区间-1＜x＜0与x＞0的每一个内，$\frac{f（x）}{x}$是严格递增的．
求满足上述条件的函数的方程．

Answer 1

分析 令y=x可得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），令x+f（x）+xf（x）=c，则f（c）=c，代入（1）可得f（2c+c²）=2c+c²．对c的符号进行讨论得出c=0即x+f（x）+xf（x）=0，从而得出f（x）的解析式．

解答 解：令y=x得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），
令x+f（x）+xf（x）=c，则f（c）=c，
带入（1）得f（2c+c²）=2c+c²．∵2+c＞2+（-1）=1，∴2c+c²=c（2+c）与c同号．
若c＞0，则2c+c²＞c，但$\frac{{f（2c+{c^2}）}}{{2c+{c^2}}}=\frac{f（c）}{c}=1$，与$\frac{f（x）}{x}$在x＞0时严格递增相矛盾，
若c＜0，同样导出矛盾，
∴c=0，从而对一切x∈S有x+f（x）+xf（x）=0，
∴$f（x）=-\frac{x}{x+1}$．

点评 本题考查了抽象函数的性质的应用，属于中档题．