Question

12．如图，已知四边形BCD和BCEG均为直角梯形，AD∥EG、CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=2AD，CE=2BG．求证：
（Ⅰ）EC⊥CD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；
（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE．

解答 证明：如图示：
，
（Ⅰ）由平面ABCD⊥平面BCEG，
平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD，又CD?平面BCDA，故 EC⊥CD；
（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，
连结DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且$MN=AD=\frac{1}{2}BC$，
∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，
∴AG∥DM，
∵DM⊆平面BDE，AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE．

点评 本题考查面面垂直、线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．