Question

3．已知f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，当x∈[0，1）时f（x）=lg$\frac{1}{1+x}$，
（1）求f（x）的解析式；
（2）探求f（x）的单调区间，并证明f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，当x∈[0，1）时f（x）=lg$\frac{1}{1+x}$，求出x∈（-1，0）时函数的解析式，综合可得答案；
（2）f（x）在[0，1）上单调递减，在（-1，0）单调递增，利用导数法可证得结论．

解答 解：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
∴f（-x）=lg$\frac{1}{1-x}$，
∵f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=lg$\frac{1}{1-x}$，
综上可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lg\frac{1}{1-x}，x∈（-1，0）\\ lg\frac{1}{1+x}，x∈[0，1）\end{array}\right.$；
（2）f（x）在[0，1）上单调递减，在（-1，0）单调递增．证明如下：
∵f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{ln10•（1-x）}，x∈（-1，0）\\ \frac{-1}{ln10•（1+x）}，x∈[0，1）\end{array}\right.$，
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0恒成立，
当x∈[0，1），f′（x）＜0恒成立，
故f（x）在[0，1）上单调递减，在（-1，0）单调递增．

点评 本题考查的知识点是利用导数法研究函数的单调性，函数的奇偶性，函数解析式的求法，难度中档．