Question

13．数列{a_n}中，a₁=1，前n项和是S_n，S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求通项公式a_n；
（3）求证：S_nS_n+2＜S_n+1²．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1，n∈N^*．分别取n=2，3，4，即可得出．
（2）利用递推关系即可得出．
（3）利用（2），通过作差即可证明．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=2a_n-1，
∴当n=2时，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2
当n=3时，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8．
（2）∵S_n=2a_n-1，n∈N^*①
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2，n∈N^*），即a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，其通项公式${a_n}={2^{n-1}}$．
（3）证明：${S_n}=2{a_n}-1={2^n}-1$，
${S_n}{S_{n+2}}=（{2^n}-1）（{2^{n+2}}-1）={2^{2n+2}}-{2^{n+2}}-{2^n}+1$，
$S_{n+1}^2={（{2^{n+1}}-1）^2}={2^{2n+2}}-{2^{n+2}}+1$，
∴$S_{n+1}^2-{S_n}{S_{n+2}}={2^n}＞0$，∴${S_n}{S_{n+2}}＜S_{n+1}^2$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、作差法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．