Question

20．设数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，数列{b_n}的前n项和为S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式可得a_n，利用递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₅=14，a₇=20．设等差数列首项为a₁，公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}14={a_1}+4d\\ 20={a_1}+6d\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=3\end{array}\right.$，
∴a_n=3n-1．
又∴数列{b_n}的前n项和${S_n}={2^n}-1$，①${S_{n-1}}={2^{n-1}}-1$，②
①-②可得：${b_n}={2^{n-1}}（n≥2）$．
当n=1时，b₁=1符号上式，∴${b_n}={2^{n-1}}$．
（2）${c_n}={a_n}•{b_n}=（3n-1）•{2^{n-1}}$
${T_n}=（3×1-1）•{2^{1-1}}+（3×2-1）•{2^{2-1}}+…+（3n-1）•{2^{n-1}}$，$2{T_n}=（3×1-1）•{2^{1-1}}+（3×1-1）•{2^{2-1}}+…+（3（n-1）-1）•{2^{n-1}}+（3n-1）•{2^n}$．
两式相减得：$-{T_n}=2+3（{2^1}+{2^2}+…{2^{n-1}}）-（3n-1）•{2^n}$，$-{T_n}={2^n}•（4-3n）-4$．
∴${T_n}=（3n-4）•{2^n}+4$．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．