Question

11．设函数f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x取值构成的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=$\frac{3}{2}$，a=1，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 化简函数f（x），（Ⅰ）根据三角函数的图象与性质求出f（x）的最大值以及对应x的取值集合；
（Ⅱ）根据题意求出A的值，再利用正弦定理求出b、c的解析式，写出△ABC的周长L，求出它的最大值．

解答 解：函数f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x
=cos2xcos$\frac{2π}{3}$-sin2xsin$\frac{2π}{3}$+2×$\frac{1+cos2x}{2}$
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1
=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1；
（Ⅰ）令2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得x=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的最大值为1+1=2，
且f（x）取最大值时x的取值集合是{x|x=-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}；
（Ⅱ）△ABC中，f（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴-sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]+1=$\frac{3}{2}$，
sin[2（B+C）-$\frac{π}{6}$]=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜B+C＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜2（B+C）-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2（B+C）-$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
又∵a=1，
∴$\frac{a}{ainA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴△ABC的周长为：
L=a+b+c
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-C）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC
=1+cosC+$\sqrt{3}$sinC
=1+2sin（C+$\frac{π}{6}$），
∵0＜C＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴当C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$时，△ABC的周长取最大值为1+2=3．

点评 本题考查了三角形内角和定理、和差公式、诱导公式、余弦定理、三角形面积计算公式，也考查了推理能力与计算能力，属于中档题．