Question

15．已知在△ABC内有一点P，满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，过点P作直线l分别交AB、AC于M、N，若$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），则m+n的最小值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由已知足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，得知p为三角形的重心，得到$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）-m\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{3}$-m）$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{AC}-m\overrightarrow{AB}$，
利用M，P，N共线，得到$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3，然后求m+n的最小值．

解答 解：由在△ABC内有一点P，满足$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，得知p为三角形的重心，
且$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）-m\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{3}$-m）$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{AC}-m\overrightarrow{AB}$，
因为M，P，N共线，所以$\frac{\frac{1}{3}-m}{-m}=\frac{\frac{1}{3}}{n}$，所以$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3，
所以m+n=$\frac{1}{3}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{3}$（2+$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$）$≥\frac{1}{3}$（2+2）=$\frac{4}{3}$，
当且仅当m=n时等号成立；
故m+n的最小值为$\frac{4}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了平面向量的运算以及利用基本不等式求代数式的最小值；关键是求出m，n的关系等式．