Question

7．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂为其左、右焦点，A，B分别为其左、右顶点，若4$\overrightarrow{A{F_1}}$=$\overrightarrow{{F_1}B}$，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由题意可知：丨$\overrightarrow{A{F_1}}$丨=a-c，丨$\overrightarrow{{F_1}B}$丨=a+c，由4$\overrightarrow{A{F_1}}$=$\overrightarrow{{F_1}B}$，则4（a-c）=a+c，求得a=$\frac{5}{3}$c，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$．

解答 解：由椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，
由题意可知：丨$\overrightarrow{A{F_1}}$丨=a-c，丨$\overrightarrow{{F_1}B}$丨=a+c，
由4$\overrightarrow{A{F_1}}$=$\overrightarrow{{F_1}B}$，
∴4（a-c）=a+c，
整理得：3a=5c，a=$\frac{5}{3}$c，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆标准方程，考查椭圆的简单几何性质的应用，考查数形结合思想，属于基础题．