Question

2．函数f（x）=（ax²+x-1）e^x（a＜0）．
（1）当a=-1时，若函数y=f（x）与g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m的图象有且只有3个不同的交点，求实数m的值的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）令$h（x）=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}）$，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出m的范围即可；
（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）当a=-1时，$f（x）-g（x）=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+m）$，
故$m=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}）$．
令$h（x）=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}）$，h'（x）=-x（x+1）（e^x+1），
故当x＜-1时，h'（x）＜0；当-1＜x＜0时，h'（x）＞0；
当x＞0时，h'（x）＜0；$h（-1）=-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}$，h（0）=-1．
故$-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}＜m＜-1$．
（2）由于f（x）=（ax²+x-1）e^x，
∴f'（x）=（2ax+1+ax²+x-1）e^x=$ax（x+\frac{2a+1}{a}）{e^x}$．
当$a=-\frac{1}{2}$时，f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在R上单调递减；
当$a＜-\frac{1}{2}$时，f（x）在$（-∞，-\frac{2a+1}{a}）$上单调递减，在$（-\frac{2a+1}{a}，0）$上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在$（0，-\frac{2a+1}{a}）$上单调递增，在$（-\frac{2a+1}{a}，+∞）$上单调递减．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．