Question

12．设函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lna为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$+lna为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，可得f（-x）=-f（x），进而得到实数a的值；
（2）$f（x）=x+\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上是增函数，
证法一：任取1＜x₁＜x₂，作差判断出f（x₁）＜f（x₂），根据单调性的定义，可得$f（x）=x+\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上是增函数，
证法二：求导，根据当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，得到：f（x）在区间（1，+∞）上是增函数

解答 解：（1）∵$f（x）=x+\frac{a}{x}+lna$为定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$-x-\frac{a}{x}+lna=-（x+\frac{a}{x}+lna）$，
∴lna=0，
∴a=1．…（4分）
（2）$f（x）=x+\frac{1}{x}$在区间（1，+∞）上是增函数．…（5分）
证法一：设1＜x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}-{x_2}+\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}-\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．…（9分）
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．…（12分）
证法二：∵$f（x）=x+\frac{1}{x}$，
∴$f′（x）=1-\frac{1}{{x}^{2}}$，…（9分）
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．…（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．