Question

1．在平面直角坐标系中，倾斜角为α的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系（与平面直角坐标系的单位长度相同），当α=60°时，求直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0），直线l与椭圆$\frac{x^2}{2}$+y²=1相交于点A、B，求|PA|•|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t，可得普通方程．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直线l的极坐标方程．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆方程得（2sin²α+cos²α）t²+2tcosα-1=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去t，得$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$．
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-\sqrt{3}=0$．
（Ⅱ）将参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$，代入椭圆方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得（2sin²α+cos²α）t²+2tcosα-1=0，
其判别式△＞0恒成立，∴t₁t₂=$\frac{-1}{2si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$．
$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}{t_2}}|=\frac{1}{{2{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}=\frac{1}{{{{sin}^2}α+1}}$．
∵0≤sin²α≤1，∴$|{PA}|•|{PB}|∈[{\frac{1}{2}\;\;，\;\;1}]$．

点评 本题考查了参数方程回去普通方程及其应用、直角坐标方程化为极坐标方程、三角函数的基本关系及其单调性、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．