Question

20．已知抛物线y²=4x焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B，O为坐标原点，若△AOB的面积为4，则弦|AB|=（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 12
• D． 16

Answer 1

分析 设出直线方程，求出A，B两点的纵坐标的差，利用△AOB的面积．求出直线的斜率，然后求解|AB|，

解答 解：抛物线y²=4x焦点为F（1，0），
设过焦点F的直线为：y=k（x-1），
可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
y_A+y_B=$\frac{4}{k}$，y_Ay_B=-4，
|y_A-y_B|=$\sqrt{（\frac{4}{k}）^{2}+16}$，
△AOB的面积为4，
可得：$\frac{1}{2}×1×$|y_A-y_B|=4，
可得：$\sqrt{（\frac{4}{k}）^{2}+16}$=8，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
|AB|=$\sqrt{（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}+（\frac{{|y}_{A}-{y}_{B}|}{k}）^{2}}$=$\sqrt{64+64×3}$=16．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．