Question

10．已知函数f（x）=alnx+$\frac{2}{x}$+2x在[1，+∞）上为单调递增的函数，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在[1，+∞）上为单调递减函数，则实数a的取值范围为[0，4]．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，问题转化为a≥$\frac{2}{x}$-2x，求出a≥0，求出g（x）的导数，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：由f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2≥0，得：a≥$\frac{2}{x}$-2x，
设h（x）=$\frac{2}{x}$-2x，则a≥h（x）_max=h（1）=0，
g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{alnx}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$+2，
g′（x）=$\frac{ax-axlnx-4}{{x}^{3}}$，（x＞1），
设t（x）=ax-axlnx-4，t′（x）=-alnx，
a≥0时，t′（x）≤0，t（x）在[1，+∞）递减，
故t（x）_max=t（1）=a-4≤0，
综上，0≤a≤4．
故答案为：[0，4]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．