Question

19．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（1）当a=2时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=$\frac{1}{x}$+4x，
函数f（x）的定义域为$（{0，+∞}），f'（x）=-\frac{1}{x^2}+4$，
令 $f'（x）=-\frac{1}{x^2}+4=0$，得${x_1}=\frac{1}{2}；{x_2}=-\frac{1}{2}$（舍去），
当x变化时，f'（x），f（x）的取值情况如下：

x	$（{0，\frac{1}{2}}）$	$\frac{1}{2}$	$（{\frac{1}{2}，+∞}）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

所以，函数f（x）的极小值为$f（{\frac{1}{2}}）=4$，无极大值．
（2）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{（{2x-1}）（{ax+1}）}}{x^2}$，
令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=-\frac{1}{a}$，
当a=-2时，f'（x）≥0，函数f（x）的在定义域（0，+∞）单调递增； 
当-2＜a＜0时，在区间$（{\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}}）$，上f'（x）＞0，f（x）单调递增； 
当a＜-2时，在区间$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}}）$，上f'（x）＞0，f（x）单调递增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．