Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，满足对任意的实数x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2）
• B． [$\frac{13}{4}$，2）
• C． [$\frac{13}{8}$，2）
• D． （-∞，$\frac{13}{8}$]

Answer 1

分析 由题意得到函数是一个减函数，由此列不等式组a-2＜0且（$\frac{1}{2}$）²-1≥2（a-2），求解不等式组得答案

解答 解：∵对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
∴函数是一个减函数，
由于函数f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{2（a-2）≤（\frac{1}{2}）^{2}-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{a≤\frac{13}{8}}\end{array}\right.$，所以a$≤\frac{13}{8}$；
故选：D

点评 本题考查了函数单调性的性质，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组的解法，是中档题