Question

15．“对任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），ksin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$＞ln（x+1）”是“k≥2”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充分必要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 对不等式整理得出k＞$\frac{2ln（x+1）}{sinx}$，构造函数得出右式恒小于2．结合充分条件和必要条件的概念判断即可．

解答 解：ksin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$＞ln（x+1），即为$\frac{k}{2}$sinx＞ln（x+1），
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜sinx＜1，
∴k＞$\frac{2ln（x+1）}{sinx}$，
设f（x）=$\frac{2ln（x+1）}{sinx}$，显然函数递增，
则f（$\frac{π}{2}$）=2ln（$\frac{π}{2}$+1）＜2，
故由k≥2一定能得出ksin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$＞ln（x+1），反之不成立，
故选B．

点评 本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．