Question

5．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点（2，0）且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点（1，0）作互相垂直的两条直线l₁，l₂，l₁与曲线C交于A，B两点l₂与曲线C交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设圆心C（x，y），依题意有x²+4=（x-2）²+y²，可求曲线C的方程；
（2）求出M，N的坐标，可得直线MN的方程，即可得到结论．

解答 （1）解：设圆心C（x，y），依题意有x²+4=（x-2）²+y²，即得y²=4x，
∴曲线C的方程为y²=4x．
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=k（x-1），
代入y²=4x可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$
∴x_M=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，∴y_M=k（x_M-1）=$\frac{2}{k}$
∴M（$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）．
∵AB⊥CD，∴将M坐标中的k换成-$\frac{1}{k}$，可得N（2k²+1，-2k）
∴直线MN的方程为y+2k=$\frac{-2k-\frac{2}{k}}{2{k}^{2}+1-\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}}$（x-2k²-1）
整理得（1-k²）y=k（x-3）
∴不论k为何值，直线MN必过定点P（3，0）．

点评 本题主要考查抛物线的定义，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，确定直线的方程是关键．