Question

17．已知函数f（x）=$\frac{a{e}^{x}+blnx}{x}$（a，b∈R且a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，且f（x）有极大值，求实数a的取值范围；
（2）若a=b=1，试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．（提示：e${\;}^{\frac{3}{4}}$＞$\frac{16}{9}$，e${\;}^{\frac{2}{3}}$＜$\frac{9}{4}$）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出b的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出x=1时函数取极大值，求出a的范围即可；
（2）求出f（x）的导数，求出m的范围，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{（{ae}^{x}+\frac{b}{x}）x-（{ae}^{x}+blnx）}{{x}^{2}}$，∴f′（1）=b=0，
∴f′（x）=$\frac{{ae}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞1，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）只有极小值，不合题意；
a＜0时，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，由f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在x=1处取得极大值，
故a的范围是（-∞，0）；
（2）a=b=1时，f（x）=$\frac{{e}^{x}+lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1-lnx}{{x}^{2}}$，
设g（x）=e^x（x-1）+1-lnx，则g′（x）=x（e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$），
设g′（m）=0，∵e${\;}^{\frac{3}{4}}$＞$\frac{16}{9}$，e${\;}^{\frac{2}{3}}$＜$\frac{9}{4}$，
且y=e^x-$\frac{1}{{x}^{2}}$在x∈（0，+∞）递增，
∴$\frac{2}{3}$＜m＜$\frac{3}{4}$，
不难得到g（x）≥g（m），
∵e^m=$\frac{1}{{m}^{2}}$，∴m=-2lnm，
∴g（m）=$\frac{{m}^{3}+{2m}^{2}+2m-2}{{2m}^{2}}$，
∵（m³+2m²+2m-2）′=3m²+4m+2＞0恒成立，
∴φ（m）=m³+2m²+2m-2递增，
∴φ（m）＞φ（$\frac{2}{3}$）=$\frac{14}{27}$＞0，∴g（m）＞0，g（x）＞0，
故f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．