Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$（x∈R）
（1）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；
（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N^*，若向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，sinB）平行，求c的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，进而得到函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；
（2）向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，sinB）平行，即sinB-2sinA=0．由正弦定理得b=2a，再由余弦定理可得c的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$即x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）最小，最小值是-$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）最大，最大值是0．
（2）∵向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（2，sinB）平行，
∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，得 b=2a，
∵a=1故b=2，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=5-4cosC∈（1，5），
又由c∈N^*，故c=2．

点评 本题考查的知识点是正弦定理，余弦定理，三角函数的最值，向量平行，难度中档．