Question

11．已知椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，P为椭圆上动点，Q（4，0）是X轴上的定点，M是PQ的中点，当点P在椭圆上运动时
（1）写出该椭圆的参数方程 
（2）求M的轨迹的参数方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，利用平方关系可得参数方程．
（2）设M（x，y），M是PQ的中点，则P（2x-4，2y）．代入椭圆方程可得：（x-2）²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．利用平方关系即可得出．

解答 解：（1）由椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，令$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）设M（x，y），M是PQ的中点，则P（2x-4，2y）．
代入椭圆方程可得：$\frac{（2x-4）^{2}}{4}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1，化为（x-2）²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1．
令x-2=cosα，$\frac{2y}{\sqrt{3}}$=sinα，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程与参数方程、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．