Question

3．已知实数x，y，z为正数，则$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 实数x，y，z为正数，则$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{\frac{x}{y}+\frac{z}{y}}{（\frac{x}{y}）^{2}+1+（\frac{z}{y}）^{2}}$，令$\frac{x}{y}$=a＞0，$\frac{z}{y}$=b＞0，a+b=t＞0．则$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{a+b}{{a}^{2}+{b}^{2}+1}$≤$\frac{a+b}{\frac{（a+b）^{2}}{2}+1}$=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}}{2}+1}$=$\frac{1}{\frac{t}{2}+\frac{1}{t}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵实数x，y，z为正数，则$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{\frac{x}{y}+\frac{z}{y}}{（\frac{x}{y}）^{2}+1+（\frac{z}{y}）^{2}}$，
令$\frac{x}{y}$=a＞0，$\frac{z}{y}$=b＞0，a+b=t＞0．
则$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{a+b}{{a}^{2}+{b}^{2}+1}$≤$\frac{a+b}{\frac{（a+b）^{2}}{2}+1}$=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}}{2}+1}$=$\frac{1}{\frac{t}{2}+\frac{1}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{t}{2}×\frac{1}{t}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当t=$\sqrt{2}$，即a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{x}{y}$=$\frac{z}{y}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了换元法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．