Question

16．函数f（x）=x²-ax-1在区间（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上有零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 对函数类型及零点个数进行讨论，列不等式解出．

解答 解：函数f（x）=x²-ax-1的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，
当$\frac{1}{2}$a＜-$\frac{1}{2}$时，即a＜-1，函数f（x）在区间（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上单调递增，
∴f（-$\frac{1}{2}$）＜0，且f（$\frac{1}{2}$）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a-1＜0}\\{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a-1＞0}\end{array}\right.$，
解得a＜-$\frac{3}{2}$，
当$\frac{1}{2}$a＞$\frac{1}{2}$时，即a＞1，函数f（x）在区间（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
∴f（-$\frac{1}{2}$）＞0，且f（$\frac{1}{2}$）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a-1＞0}\\{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a-1＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{3}{2}$，
当函数由两个零点时，$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{f（-\frac{1}{2}）≥0}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\end{array}\right.$，此时无解
综上所述a的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）
故选：C

点评 本题考查二次函数的性质、函数的零点存在的条件，考查转化思想，属于中档题