Question

10．已知圆M过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2），过点D（-1，4）作圆M的两条切线，两切点分别为E，F，
（I）  求圆M的方程．
（II） 求切线DE，DF方程
（ III）求直线EF的方程．

Answer 1

分析 （I）设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入坐标，可得方程组，即可求圆M的方程．
（II）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线DE，DF方程
（III）求出点E，F在以DM为直径的圆，即可求直线EF的方程．

解答 解：（I） 设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则  $\left\{\begin{array}{l}F=0\\ 2+D+E+F=0\\ 20+4D+2E+F=0\end{array}\right.$…（2分）
解得D=-8，E=6，F=0所以圆M的方程是x²+y²-8x+6y=0…（4分）
（II） 圆M的方程是（x-4）²+（y+3）²=25
当切线的斜率不存在时，直线x=-1满足题意              …（5分）
当切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k（x+1），kx-y+k+4=0
由相切可知$\frac{{|{5k+7}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=5$解得$k=-\frac{12}{35}$，该切线方程为12x+35y-128=0
所以切线DE，DF方程为x=-1和 12x+35y-128=0…（8分）
（III）点E，F在以DM为直径的圆上，该圆方程为（x+1）（x-4）+（y-4）（y+3）=0
化简得x²+y²-3x-y-16=0，…（10分）
线段EF是两圆公共弦x²+y²-3x-y-16=0…①x²+y²-8x+6y=0…②
①-②得5x-7y-16=0，所以直线EF的方程为5x-7y-16=0…（12分）

点评 本题考查直线与圆的方程，考查圆与圆的位置关系，属于中档题．