Question

19．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心，求证：平面EFG∥平面HMN．

Answer 1

分析 以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，得到$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{HM}$，$\overrightarrow{FG}$∥$\overrightarrow{NH}$，从而证出结论．

解答 证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
如图示：

不妨设正方体的棱长为2，
则E（1，1，0），F（1，0，1），G（2，1，1），
H（1，2，1），M（1，1，2），N（0，1，1）．
所以$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{FG}$=（1，1，0），
$\overrightarrow{HM}$=（0，-1，1），
$\overrightarrow{NH}$=（1，1，0），
所以$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{HM}$，$\overrightarrow{FG}$∥$\overrightarrow{NH}$
∴EF∥HM，FG∥NH．
因为HM⊆平面HMN，NH⊆平面HMN，
所以EF∥平面HMN，FG∥平面HMN．
因为EF⊆平面EFG，FG⊆平面EFG，
EF∩FG=F，
所以平面EFG∥平面HMN．

点评 本题考查了面面平行问题，考查向量的应用，是一道中档题．