Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），关于数列{a_n}有下列几个命题：
①若a_n=a_n+1（n∈N^*），则{a_n]既是等差数列又是等比数列；
②若S_n=an²+bn（a、b∈R），则{a_n}是等差数列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，则{a_n}是等比数列；
④若{a_n}为等差数列，且存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有a_n＞0．
其中正确命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 对于①，直接据反例进行判断；
对于②和③，利用数列中a_n与S_n的关系式求出数列的通项，由等差数列和等比数列的定义加以验证；
对于④依题意，可得公差d＞0，从而可判断④正确．

解答 解：①如：数列0、0、0、…，是等差数列但不是等比数列，则①不正确；
②由S_n=an²+bn，（a，b∈R），当n=1时，a₁=S₁=a+b，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b．
当n=1时a₁适合上式．
∴a_n=2an-a+b．满足a_n+1-a_n=2a为常数，则{a_n}是等差数列，
当{a_n}是等差数列时，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
即为S_n=an²+bn（a，b∈R）形式，成立，则②正确；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-（-1）ⁿ-[1-（-1）^n-1]=（-1）ⁿ⁺¹+（-1）^n-1，
当n为奇数时，a_n=2．当n为偶数时，a_n=-2．
所以{a_n}是等比数列，则③正确；
④一个等差数列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞0（k∈N^*），由a_k+1=a_k+d知a_k+d＞a_k＞0，
故d＞0，所以，对于任意自然数n＞k，都有a_n＞0，则④正确；
故答案为：②③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，差数列和等比数列的定义，以及数列中a_n与S_n的关系式应用，解答的关键在于对基础知识的理解与掌握．