Question

1．数列{a_n}和{b_n}都是首项为1的等差数列，设S_n是数列{a_n}的前n项和，且由S_n=b_n²．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{${\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right.$}的前n项和A_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义和前n项和公式，得到关于a₁，d的方程组解得即可，
（2）根据裂项求和即可求出数列前n项和．

解答 解：（1）设数列{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂，依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_2}={b_2}^2\\{a_1}+{a_2}+{a_3}={b_3}^2\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}1+1+{d_1}={（1+{d_2}）^2}\\ 1+1+{d_1}+1+2{d_1}={（1+2{d_2}）^2}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{d_1}=2\\{d_2}=1\end{array}\right.$
所以a_n=2n-1，b_n=n，
所以${S_n}=\frac{{n（1+{a_n}）}}{2}={n^2}={（{b_n}）^2}$满足题意．
（2）因为$\frac{2}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
所以${A_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列项公式，考查数列的前n项和以及裂项求和，是一道中档题．