Question

9．已知边长为$8\sqrt{3}$的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知圆过定点D（0，2），圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＜|DB|，求$\frac{{|{DA}|}}{{|{DB}|}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得此正三角形的另外两个顶点为（$±4\sqrt{3}$，12），代入抛物线方程解得p即可得出．
（2）设M（a，b），则a²=4b．半径R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，可得⊙M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，令y=0，解得x，可得A，B．利用两点之间的距离公式可得：|DA|＜|DB|．代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得此正三角形的另外两个顶点为（$±4\sqrt{3}$，12），
代入抛物线方程可得48=2p×12，解得p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y．
（2）设M（a，b），则a²=4b．半径R=|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，
可得⊙M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²，
令y=0，可得x²-2ax+4b-4=0，
∴x²-2ax+a²-4=0，解得x=a±2，
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0）．
∴|DA|=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，|DB|=$\sqrt{（a+2）^{2}+4}$，
∵|DA|＜|DB|，
∴$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$＜$\sqrt{（a+2）^{2}+4}$，
∴a＞0，
∴$\frac{{|{DA}|}}{{|{DB}|}}$=$\sqrt{\frac{（a-2）^{2}+4}{（a+2）^{2}+4}}$=$\sqrt{1-\frac{8a}{{a}^{2}+4a+8}}$=$\sqrt{1-\frac{8}{a+\frac{8}{a}+4}}$≥$\sqrt{1-\frac{8}{2\sqrt{\frac{8}{a}•a}+4}}$=$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，当且仅当a=2$\sqrt{2}$时，取的最小值，

点评 本题考查了抛物线与圆的标准性质及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．