Question

14．已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x-[x]，给出如下命题：
①使[x+1]=3成立的x的取值范围是2≤x＜3；
②函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]；
③设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\left\{x\right\}\begin{array}{l}{\;}，{x≥0}\end{array}\\ f（x+1）\begin{array}{l}{\;}，{x＜0}\end{array}\end{array}$，则函数y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$的不同零点有3个．
④{$\frac{2013}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^2}}}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^3}}}{2014}}$}+…+{${\frac{{{{2013}^{2014}}}}{2014}$}=1007．
其中正确命题的序号是①③④．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①由[x]表示不超过实数x的最大整数，即可判断[x+1]=3的x的取值范围；
②函数{x}的定义域为R，推出函数的最小正周期为1，再推出当0≤x＜1时，y={x}的值域，从而判断②；
③分类讨论，求出函数的零点，即可得出结论；
④推出n分别为偶数、奇数时，求出{$\frac{201{3}^{n}}{2014}$}，从而判断④的正确性．

解答 解：①已知[x]表示不超过实数x的最大整数，由[x+1]=3得3≤x+1＜4即2≤x＜3，故①正确；
②函数{x}的定义域为R，又由{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，故函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，故函数{x}的值域为[0，1），故②错误；
③∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\left\{x\right\}\begin{array}{l}{\;}，{x≥0}\end{array}\\ f（x+1）\begin{array}{l}{\;}，{x＜0}\end{array}\end{array}$，∴0≤f（x）＜1；当0≤x＜1时，f（x）=x，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$有零点x=$\frac{1}{3}$；当x≥1时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=1时有最大值$\frac{1}{2}$，且无最小值，∴函数y有一零点；当x＜0时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-$\frac{1}{4}$x-$\frac{1}{4}$在x=0时有极小值-$\frac{1}{4}$，且无最大值，∴函数y有一零点；∴正确．
④当n为偶数时，{$\frac{201{3}^{n}}{2014}$}={2014^n-1-n•2014^n-2+…-n+$\frac{1}{2014}$}=$\frac{1}{2014}$，
当n为奇数时，{$\frac{201{3}^{n}}{2014}$}={2014^n-1-n•2014^n-2+…+n-$\frac{1}{2014}$}=1-$\frac{1}{2014}$，
故{{$\frac{2013}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^2}}}{2014}}$}+{${\frac{{{{2013}^3}}}{2014}}$}+…+{${\frac{{{{2013}^{2014}}}}{2014}$}=（$\frac{2013}{2014}$+$\frac{1}{2014}$）+（$\frac{2013}{2014}$+$\frac{1}{2014}$）+…+（$\frac{2013}{2014}$+$\frac{1}{2014}$）=1007，故正确．
故答案为①③④．

点评 本题是新定义题，考查函数的性质及应用，考查函数的定义域、值域以及函数的周期性，运用图象相交的交点个数来确定函数的零点个数，对定义的准确理解是迅速解题的关键．