Question

1．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞0，a_n²+2a_n=4S_n+3．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，设数列{b_n}前n项和T_n，且λ≤T_n对一切n∈N^*都成立，试求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由递推关系可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2（n≥2），利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）由${a_n}^2+2{a_n}=4{S_n}+3$，①
可知${a_{n-1}}^2+2{a_{n-1}}=4{S_{n-1}}+3$，②（n≥2）
①-②得：${a_n}^2-{a_{n-1}}^2+2{a_n}-2{a_{n-1}}=4{a_n}$，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
∵a_n＞0，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴{a_n}是以a₁=3为首项，d=2为公差的等差数列．
∴${a_n}=2n+1（n∈{N^*}）$．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{n}{3（2n+3）}$．
∵λ≤T_n对一切n∈N^*成立，∴λ≤T₁．
∴$λ≤\frac{1}{15}$，即的最大值为$\frac{1}{15}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．