Question

9．已知函数f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R）．
（I）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；
（II）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题知，$f'（x）=（2a-1）x+\frac{1}{x}$，又f'（1）=-2，从而求出a=-1，由此能求出b=$\frac{1}{2}$．
（II）令$g（x）=f（x）-2ax=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）∵f（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+lnx（a∈R），
∴由题知，$f'（x）=（2a-1）x+\frac{1}{x}$，…（1分）
又f'（1）=-2，即2a=-2，∴a=-1．…（2分）
∴$f（x）=-\frac{3}{2}{x^2}+lnx$，∴$f（1）=-\frac{3}{2}$．
∴切点为$（1，-\frac{3}{2}）$，代入切线方程得：$2×1-\frac{3}{2}+b=0$，
解得b=$\frac{1}{2}$．
∴a=-1，$b=-\frac{1}{2}$．…（4分）
（II）令$g（x）=f（x）-2ax=（a-\frac{1}{2}）{x^2}-2ax+lnx$，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方
等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵$g'（x）=（2a-1）x-2a+\frac{1}{x}=\frac{{（2a-1）{x^2}-2ax+1}}{x}=\frac{（x-1）[（2a-1）x-1]}{x}$，…（5分）
令g'（x）=0，得x₁=1或${x_2}=\frac{1}{2a-1}$．…（6分）
①若$\frac{1}{2}＜a＜1$，则$\frac{1}{2a-1}＞1$．
∴在$（\frac{1}{2a-1}，+∞）$上有g'（x）＞0，在$（1，\frac{1}{2a-1}）$上有g'（x）＜0．
∴g（x）在$（1，\frac{1}{2a-1}）$上递减，在$（\frac{1}{2a-1}，+∞）$上递增．
∴$g（x）≥g（\frac{1}{2a-1}）$，
∴与g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立相背，不符合题意．…（8分）
②若a≥1时，则$0＜\frac{1}{2a-1}≤1$，∵在（1，+∞）上有g'（x）＞0，
∴g（x）在区间（1，+∞）递增．
∴g（x）≥g（1），∴不符合题意．…（10分）
③若$a≤\frac{1}{2}$，则2a-1≤0，∵在区间（1，+∞）上有g'（x）＜0，则g（x）在区间（1，+∞）递减．
∴g（x）＜g（1）在（1，+∞）恒成立，要使g（x）＜0在（1，+∞）恒成立，
只需$g（1）=-a•\frac{1}{2}≤0$．∴$a≥-\frac{1}{2}$，∴$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$．
综上，当$a∈[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．…（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．