Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=a₂=1，a_n+a_n+1+a_n+2=cos$\frac{2nπ}{3}$（n∈N*），数列前n项和为S_n，则S₂₀₁₆=-336．

Answer 1

分析 由a_n+a_n+1+a_n+2=cos$\frac{2nπ}{3}$（n∈N^*），可求得a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄=a₂₀₁₃+a₂₀₁₂+a₂₀₁₁═…=a₃+a₂+a₁=-$\frac{1}{2}$，即可求得S₂₀₁₆的值．

解答 解：∵2016=672×3
∴a₂₀₁₄+a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=cos（2014×$\frac{2π}{3}$）=cos（1342π×$\frac{2π}{3}$）=cos$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$，
同理：a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃═cos（2011×$\frac{2π}{3}$）=cos（134π+$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$，
…
a₁+a₂+a₃=cos$\frac{2}{3}$π=-$\frac{1}{2}$，
∴S₂₀₁₆=（a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄）+（a₂₀₁₃+a₂₀₁₂+a₂₀₁₁）+…+（a₃+a₂+a₁）
=672×（-$\frac{1}{2}$）
=-336；
故答案为：-336．

点评 本题考查数列的求和，求得a₂₀₁₆+a₂₀₁₅+a₂₀₁₄=a₂₀₁₃+a₂₀₁₂+a₂₀₁₁═…=a₃+a₂+a₁=-$\frac{1}{2}$是关键，考查整体思想与运算求解能力，属于中档题．