Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$+1．
（1）证明：函数f（x）在（1，+∞）上递减；
（2）记函数g（x）=f（x+1）-1，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明，
（2）求出函数的解析式，结合函数奇偶性的定义进行证明判断．

解答 证明：（1）设x₁＞x₂＞1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
则x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
则f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上递减．
（2）g（x）=f（x+1）-1=$\frac{1}{x+1-1}$+1-1=$\frac{1}{x}$，则g（x）是奇函数，
证明如下：∵g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
g（-x）=-$\frac{1}{x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．