Question

10．已知函数y=sinx+acosx的图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是（　　）

• A． x=$\frac{5π}{6}$
• B． x=$\frac{2π}{3}$
• C． x=$\frac{π}{3}$
• D． x=$\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 函数y=sinx+acosx变为y=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+φ），tanφ=a又图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可求得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，由此可求得a=tanφ=tan（kπ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．

解答 解：y=sinx+acosx变为y=$\sqrt{1+{a}^{2}}$sin（x+φ），（令tanφ=a）
又∵图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
可求得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，
由此可求得a=tanφ=tan（kπ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinx+cosx=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（x+θ），（tanθ=$\sqrt{3}$）
其对称轴方程是x+θ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
即x=kπ+$\frac{π}{2}$-θ
又tanθ=$\sqrt{3}$，故θ=k₁π+$\frac{π}{3}$，k₁∈z
故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k₁）π+$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=（k-k₁）π+$\frac{π}{6}$，k-k₁∈z，
当k-k₁=0时，对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$，
故选：D．

点评 本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．