Question

12．如图，F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{24}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A两点．若△ABF₂为等边三角形，则△BF₁F₂的面积为（　　）

• A． 8
• B． 8$\sqrt{2}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 16

Answer 1

分析 由双曲线的定义，可得F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F₁F₂=2c，再在△F₁BF₂中应用余弦定理得，a，c的关系，即可求出△BF₁F₂的面积．

解答 解：因为△ABF₂为等边三角形，不妨设AB=BF₂=AF₂=m，
A为双曲线上一点，F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，
B为双曲线上一点，则BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F₁F₂=2c，
在△F₁BF₂中应用余弦定理得：4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•cos120°，
得c²=7a²，
在双曲线中：c²=a²+b²，b²=24
∴a²=4
∴△BF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}•2a•4a•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}{a}^{2}$=2$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求三角形的面积，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．