Question

F₂是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点，点A（2，2）在椭圆内，点M是椭圆上一动点，求|MA|+|MF₂|的最大值、最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：椭圆左焦点设为F₁，连接MF₁．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F₁成一直线时，|MA|-|MF₁|最大，求解即可．利用|MA|+|MF₂|=|MA|+10-|MF₁|=10-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|，即可得出其最小值．

解答： 解：椭圆左焦点设为F₁（-4，0），连接MF₁．
|MA|+|MF₂|=|MA|+2a-|MF₁|=10+|MA|-|MF₁|．
即|MA|-|MF₁|最大时，|MA|+|MF₂|最大．
在△AMF₁中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F₁成一直线时，|MA|-|MF₁|最大，
|MA|-|MF₁|=|AF₁|=2

10

．
所以|MA|+|MF₂|的最大值是10+2

10

．
∵|AF₁|=

(2+4)2+22

=2

10

．
|MA|+|MF₂|=|MA|+10-|MF₁|=10-（|MF₁|-|MA|）≥10-|AF₁|=10-2

10

，
其最小值为10-2

10

．

点评：本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．