Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式．3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（其中t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求证：数列{a_n}是等比数列．．（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f(

1

bn-1

)（n=2，3，4…）求数列{b_n}的通项公式．（3）求和S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄ -…+（-1）^n-1b_nb_n+1．

Answer 1

分析：（1）由已知3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，可得3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t，两式相减可得数列a_n与a_n-1的递推关系，从而可证．
（2）由（1）可得f（t），代入整理可得bn-bn-1=

2

3

，利用等差数列的通项公式可求．
（3）考虑到bk-bk+2=-

4

3

，从而可以把所求式两项结合，而结合的组数则根据n的值而定，从而需对n分为奇数和偶数两种情讨论．

解答：解：（1）∵3ts_n-（2t+3）s_n-1=3t∴3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t（n＞2）
两式相减可得3t（s_n-s_n-1）-（2t+3）（s_n-1-s_n-2）=0
整理可得3ta_n=（2t+3）a_n-1（n≥3）
∴

an

an-1

=

2t+3

3t

∵a₁=1∴a2=

2t+3

3t

即

a2

a1

=

2t+3

3t

数列{a_n}是以1为首项，以

2t+3

3t

为公比的等比数列
（2）由（1）可得f（t）=

2t+3

3t

在数列{b_n}中，bn=f(

1

bn-1

)=

2 1 bn-1 + 3

3  1 bn-1

=

3bn-1+2

3

=bn-1+

2

3

∴bn-bn-1=

2

3

数列{b_n}以1为首项，以

2

3

为公差的等差数列
∴bn=1+(n-1)×

2

3

=

2n

3

+

1

3

（3）当n为偶数时S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+（-1）^n-1b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-

4

3

( b2+ b4+…+bn)
=-

1

9

(2n2+6n)
 当n为奇数时S_n=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）+b_nb_n+1
=-

4

3

(b2+b4+…+ bn-1) +bnbn+1
=-

4

3

×

(n+2)(n-1)

6

+

2n+1

3

×

2n+3

3

=

2n2+6n+7

9

点评：本题主要考查了利用递推关系实现数列和与项的相互转化，进而求通项公式，等差数列的通项公式的运用，数列的求和，在解题中体现了分类讨论的思想．