Question

（2012•昌平区二模）设数列{a_n}的首项a1=-

1

2

，前n项和为S_n，且对任意n，m∈N^*都有

Sn

Sm

=

n(3n-5)

m(3m-5)

，数列{a_n}中的部分项{abk}(k∈N^*）成等比数列，且b₁=2，b₂=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}与的通项公式；
（Ⅱ）令f(n)=

1

bn+1

，并用x代替n得函数f（x），设f（x）的定义域为R，记cn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)(n∈N*)，求

n

i=1

1

cici+1

．

Answer 1

分析：（1）本题给出数列{a_n}中任意前两项和的递推关系，同时又给出了构成等比数列的部分项，先借助于递推关系求出s_n，然后求出数列的通项，根据{abk}(k∈N^*）在原数列和新数列中的位置列式，然后求得b_n．
（2）代入公式后，可借助于列项相消法求解．

解答：解：（Ⅰ）因为s1=a1=-

1

2

，又

sn

s1

=

(3n-5)n

(3-5)×1

所以sn=

3

4

n2-

5

4

n，于是有an=

s1           (n=1) sn-sn-1  (n≥2)

=

- 1 2     (n=1) 3 2 n-2  (n≥2)

又a1=-

1

2

=

3

2

×1-2=s1，
所以数列{a_n}的通项公式为an=

3

2

n-2
由a₂=1，a₄=4知，数列{abk}是首项为1，公比为4的等比数列，abk=4n-1
而abk为等差数列{a_n}中的第b_k项，是等比数列{abk}中的第k项，所以有4k-1=

3

2

bk-2，即bn=

2

3

(4n-1)+

4

3

（Ⅱ）解：由已知f(x)=

3

2

1

4x+2

，则f(x)+f(1-x)=

3

2

[

1

4x+2

+

1

41-x+2

]=

3

2

[

1

4x+2

+

4x

2(4x+1)

]=

3

4

∴cn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)     ①
cn=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+…f(

1

n

)+f(0)                ②
由①+②得，2cn=(n+1)

3

4

，所以cn=

3

8

(n+1)

n

i=1

1

cici+1

=

1

c1c2

+

1

c2c3

+…+

1

cncn+1

=

64

9

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

32n

9(n+2)

．

点评：解决本题的关键是写出数列{abk}在原数列和新数列中的通项．