Question

19．已知函数在[-2，2]上的函数f（x）是减函数，且为奇函数，f（a²-a-1）+f（4a-5）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性、单调性将不等式转化为具体不等式，进行求解即可，注意函数定义域．

解答 解：∵y=f（x）定义在[-2，2]上
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤{a}^{2}-a-1≤2}\\{-2≤4a-5≤2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-a+1≥0}\\{{a}^{2}-a-3≤0}\\{\frac{3}{4}≤a≤\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-\sqrt{13}}{2}≤a≤\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\\{\frac{3}{4}≤a≤\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{3}{4}$≤a≤$\frac{7}{4}$，
∵f（a²-a-1）+f（4a-5）＞0，
∴f（a²-a-1）＞-f（4a-5），
∵f（x）是奇函数，
∴f（a²-a-1）＞f（5-4a），
∴a²-a-1＜5-4a，
即a²+3a-6＜0，
∴$\frac{{-3-\sqrt{33}}}{2}＜x＜\frac{{-3+\sqrt{33}}}{2}$，
∴$\frac{3}{4}$≤a＜$\frac{\sqrt{33}-3}{2}$，
∴a的取值范围是[$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{33}-3}{2}$）．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，注意定义域的限制作用．