Question

11．用函数单调性定义证明：函数f（x）=x²-4x+3在区间（-∞，2）是单调减函数．

Answer 1

分析 根据减函数的定义，设任意的x₁＜x₂＜2，然后作差，可提取公因式（x₁-x₂），从而证明出f（x₁）＞f（x₂）即可证出函数f（x）在（-∞，2）上是单调减函数．

解答 证明：设x₁＜x₂＜2，则：
f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}-4{x}_{1}+3-（{{x}_{2}}^{2}-4{x}_{2}+3）$=（x₁-x₂）（x₁+x₂-4）；
∵x₁＜x₂＜2；
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜4，x₁+x₂-4＜0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，2）上是单调减函数．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程，作差法在比较大小中的应用，一般在作差后可提取公因式x₁-x₂．