Question

20．已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数式的真数大于0联立不等式组求得原函数的定义域；
（2）由定义法直接证明函数为奇函数；
（3）由f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=$ln\frac{1+x}{1-x}＞0$，然后求解分式不等式得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1．
∴函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）的定义域为（-1，1）；
（2）函数f（x）为奇函数．
事实上，函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）的定义域为（-1，1），
且f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x）．
∴f（x）是定义域内的奇函数；
（3）由f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）=$ln\frac{1+x}{1-x}＞0$，
得$\frac{1+x}{1-x}＞1$，即$\frac{2x}{1-x}＞0$，解得：0＜x＜1．
∴满足f（x）＞0的x的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查函数的性质，考查了对数不等式的解法，是基础题．