Question

已知钝角△ABC的三边的长是3个连续的自然数，其中最大角为∠A，则cosA=______．

Answer 1

设△ABC的三边c，b及a分别为n-1，n，n+1（n≥2，n∈Z），
∵△ABC是钝角三角形，∠A为钝角，则有cosA＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosA＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）² ，化简可得n²-4n＜0，故0＜n＜4，
∵n≥2，n∈Z，∴n=2，n=3．
当n=2时，不能构成三角形，舍去． 当n=3时，△ABC三边长分别为2，3，4．
由余弦定理可得 16=4+9-12cosA cosA=-

1

4

，
故答案为：-

1

4

．