Question

14．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则$\frac{{|{PQ}|}}{{|{MN}|}}$的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 设|MF|=a，|NF|=b，由抛物线定义，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|²=a²+b²，进而根据基本不等式，求得|MN|的范围，即可得到答案．

解答 解：设|MF|=a，|NF|=b．
由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b，
由勾股定理得，|MN|²=a²+b²配方得，
|MN|²=（a+b）²-2ab，
又ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
得到|MN|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{{|{PQ}|}}{{|{MN}|}}$≤$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{|{PQ}|}}{{|{MN}|}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选C．

点评 本题主要考查抛物线的应用和解三角形的应用，考查基本不等式，考查了计算能力、分析问题和解决问题的能力．