Question

如果关于x的不等式a≤

5

9

x2-

10

3

x+6≤b的解集是[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₁＜x₂＜x₃＜x₄），则x₁+x₂+x₃+x₄=

12

．

Answer 1

分析：不等式a≤

5

9

x2-

10

3

x+6≤b的解集是[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₁＜x₂＜x₃＜x₄），由此得到两个不等式的解集，然后利用根与系数关系分别得到两个不等式对应的一元二次方程的根的和，从而答案可求．

解答：解：因为关于x的不等式a≤

5

9

x2-

10

3

x+6≤b的解集是[x₁，x₂]∪[x₃，x₄]（x₁＜x₂＜x₃＜x₄），
所以x₂，x₃是方程

5

9

x2-

10

3

x+6-a=0的两根，
由韦达定理知：x2+x3=

10 3

5 9

=6．
x₁，x₄是方程

5

9

x2-

10

3

x+6-b=0的两根，
由韦达定理知：x1+x4=

10 3

5 9

=6．
所以x₁+x₂+x₃+x₄=12．
故答案为12．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数关系，是中档题．