Question

根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m．现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶．已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．

 

Answer 1

14m

【解析】

试题分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4m到2m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2m（即在横断面上距拱口中点2m）处隧道的高度是否够3m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得．

【解析】
如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x2=﹣2p（y﹣），

∵点A（﹣，0）在抛物线上，

∴（﹣）2=﹣2p（0﹣），得p=．

∴抛物线方程为x2=﹣a（y﹣）．

取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得

22=﹣a（y﹣），y=．

由题意，令y＞3，得＞3，

∵a＞0，∴a2﹣12a﹣16＞0．

∴a＞6+2．

又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，．

答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14m．