Question

设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n。对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立。
（1）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列。

Answer 1

解：（1）若k=0，则为常数，
不妨设（c为常数），
因为恒成立，
所以，
而且当n≥2时，， ①
， ②
①-②得，
若a_n=0，则，…，a₁=0，与已知矛盾，
所以，
故数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列；
 （2）(i)若k=0，由（1）知，不符题意，舍去；
(ii)若k=1，设（b，c为常数），
当n≥2时，， ③
 ， ④
③-④得，
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有（常数），
而a₁=1，
故{a_n}只能是常数数列，通项公式为a_n=1（n∈N*），
故当k=1时，数列{a_n}能成等差数列，其通项公式为a_n=1（n∈N*），
此时；
(iii)若k=2，设（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，， ⑤
， ⑥
⑤-⑥得，
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有，且d=2a，
考虑到a₁=1，
所以，
故当k=2时，数列{a_n}能成等差数列，其通项公式为，
此时（a为非零常数）；
(iv)当k≥3时，若数列{a_n}能成等差数列，则的表达式中n的最高次数为2，故数列{a_n}不能成等差数列；
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a_n}能成等差数列。