Question

设f_k（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n．对于任意的正整数n，a_n+S_n=f_k（n）都成立．
（I）若k=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{a_n}能成等差数列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）若k=0，不妨设f（n）=c（c为常数）．即a_n+S_n=c，结合数列中a_n与 S_n关系求出数列{a_n}的通项公式后再证明．
（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知a_n+S_n=f_k（n） 考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．
解答：（Ⅰ）证明：若k=0，则f_k（n）即f（n）为常数，
不妨设f（n）=c（c为常数）．
因为a_n+S_n=f_k（n）恒成立，所以a₁+S₁=c，c=2a₁=2．
而且当n≥2时，
a_n+S_n=2，①
a_n-1+S_n-1=2，②
①-②得 2a_n-a_n-1=0（n∈N，n≥2）．
若a_n=0，则a_n-1=0，…，a₁=0，与已知矛盾，所以a_n≠0（n∈N^*）．
故数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．
（2）若k=1，设f₁（n）=bn+c（b，c为常数），
当n≥2时，a_n+S_n=bn+c，③
a_n-1+S_n-1=b（n-1）+c，④
③-④得 2a_n-a_n-1=b（n∈N，n≥2）．
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有a_n=b-d（常数），
而a₁=1，故{a_n}只能是常数数列，通项公式为a_n=1（n∈N^*），
故当k=1时，数列{a_n}能成等差数列，其通项公式为a_n=1（n∈N^*），
此时f₁（n）=n+1．
（3）若k=2，设f₂（n）=pn²+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），
当n≥2时，
a_n+S_n=pn²+qn+t，⑤
a_n-1+S_n-1=p（n-1）²+q（n-1）+t，⑥
⑤-⑥得 2a_n-a_n-1=2pn+q-p（n∈N，n≥2），
要使数列{a_n}是公差为d（d为常数）的等差数列，
必须有a_n=2pn+q-p-d，且d=2p，
考虑到a₁=1，所以a_n=1+（n-1）•2p=2pn-2p+1（n∈N^*）．
故当k=2时，数列{a_n}能成等差数列，
其通项公式为a_n=2pn-2p+1（n∈N^*），
此时f₂（n）=an²+（a+1）n+1-2a（a为非零常数）．
（4）当k≥3时，若数列{a_n}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，
则a_n+S_n的表达式中n的最高次数为2，
故数列{a_n}不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{a_n}能成等差数列．
点评：本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力．