Question

已知

a

，

b

是两个相互垂直的单位向量，|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，则对于任意t₁、t₂∈R，当|

c

-t1

a

-t2

b

|取最小值时，函数f(x)=t1sinx+t2cosx(0≤x≤

π

2

)的值域是

[3，5]

．

Answer 1

分析：将模平方，利用配方法，可得当且仅当t₁=3，t₂=4时，|

c

-t1

a

-t2

b

|取得最小值，再用辅助角公式，即可求得结论．

解答：解：|

c

-t1

a

-t2

b

|²=

c

2+(t1

a

)2+(t2

b

)2-2

c

•

a

t1-2

c

•

b

t2+2t1t2

a

•

b

∵

a

，

b

是两个相互垂直的单位向量，|

c

|=13，

c

•

a

=3，

c

•

b

=4，
∴|

c

-t1

a

-t2

b

|²=169+t₁²+t₂²-6t₁-8t₂=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144
由此可得，当且仅当t₁=3，t₂=4时，|

c

-t1

a

-t2

b

|²最小值为144
∴f(x)=3sinx+4cosx(0≤x≤

π

2

)
∴f（x）=5sin（x+α），其中cosα=

3

5

，sinα=

4

5

∵0≤x≤

π

2

，∴3≤5sin（x+α）≤5，
∴函数的值域是[3，5]
故答案为：[3，5]

点评：本题考查向量模的计算，考查配方法的运用，考查三角函数求值，属于中档题．