Question

若直线y=kx+1与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|恰有四个公共点，则k的取值集合是

 

．

Answer 1

分析：在定义域内讨论x的取值，去掉绝对值符号，得到分段函数表达式，作出函数图象，求出符合条件的k的取值即可．

解答：解：设t=x-

1

x

=

x2-1

x

=

(x-1)(x+1)

x

，
①若x＜-1，则t＜0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（

1

x

-x）=-

2

x

；
②若-1≤x＜0，则t≥0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（-x-

1

x

）-（x-

1

x

）=-2x；
③若0＜x＜1，则t＜0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（

1

x

-x）=2x；
④若x≥1，则 t≥0，∴y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=（x+

1

x

）-（x-

1

x

）=

2

x

．
∴y=

- 2 x ，x＜-1 -2x，-1≤x＜0 2x，0＜x＜1 2 x ，x≥1

，画出函数图象如图：

∵直线y=kx+1过定点A（0，1），当过A点的直线m与曲线y=-

2

x

相切时，直线m与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四个公共点，
设切点坐标为（x₀，y₀），则k=（-

2

x

）′|x=x0=

2

x02

，
∴y₀=-

2

x02

=kx₀+1=

2

x02

•x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k=

2

x02

=

1

8

；
同理，当直线n与曲线y=

2

x

相切时，直线n与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四个公共点，求得直线n的斜率为k′=-

1

8

；
当过A点的直线l∥x轴，即其斜率为0时，直线l与曲线y=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|有四个公共点；
综上，实数k的取值集合是{

1

8

，0，-

1

8

}．
故答案为：{0，-

1

8

，

1

8

}．

点评：本题考查了带绝对值的函数，解题时应用分类讨论方法去掉绝对值符号，通过作图，找出答案，是较难的题目．