Question

（2013•陕西）已知函数f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数．
（Ⅲ） 设a＜b，比较

f(a)+f(b)

2

与

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）由f（x）=mx²，令h（x）=

ex

x2

(x＞0)，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；
（III）利用作差法得 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．

解答：解：（I）函数f（x）=e^x的反函数为g（x）=lnx，∴g′(x)=

1

x

．
设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），则

g′(x0)= 1 x0 =k kx0+1=lnx0

，解得x0=e2，k=e^-2，
∴k=e^-2．
（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx²，化为m=

ex

x2

，
令h（x）=

ex

x2

(x＞0)，则h′(x)=

ex(x-2)

x3

，
则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，h(2)=

e2

4

．
∴当m∈(0，

e2

4

)时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为0；
当m=

e2

4

时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点的个数为1；
当m＞

e2

4

时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx²（m＞0）公共点个数为2．
（Ⅲ） 

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

ea＞0，
即当a＜b时，

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

点评：本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．